本篇继续写与蝴蝶定理有关的竞赛题：
1、已知：如图，以△ABC的AB边为直径的圆交高CD于G，交CB、CA于E、F，连GO交圆于K，KF、KE交AB于M、N。求证：OM=ON。
思路分析1：欲证OM=ON，即证GN//FK,
即证∠1=∠5，由许多四点共圆倒角即得。
证明1：如上图，由垂直显然AF,BE,CD交于△ABC垂心H，
则GNDE,HDAE,FBAE均四点共圆，
从而得到∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，
故GN//MK,又OG=OK,
则OM=ON。
思路分析2：不难发现，本题仍然源于“切割线蝴蝶定理”，结合极线理论即得。
证明：如下图设EF交AB于P，由极线性质知CD为点P对圆O的极线，从而PG为圆O切线。由切割线蝴蝶定理知OM=ON。
注：本题是一个经典而漂亮的结论，联想到切割线蝴蝶定理不难证明。当然，杀鸡焉用宰牛刀，本题完全可以抛开蝴蝶定理，另起锅灶，获得简证，如证法1所示。
2、已知：锐角△ABC中，O为其外心，高线BD、CE交于H，过H做OH垂线交BC、DE于F、G。
求证：FH=2GH。
思路分析：本题条件刁钻，垂直难用。但是只要想到蝴蝶定理就比较有希望了，将其图形“补全”，再结合鸭爪定理即得。
